Strict Standards: Only variables should be passed by reference in /homepages/33/d411990001/htdocs/spip/config/ecran_securite.php on line 283
Les Modèles Flous Takagi-Sugeno - Ian’s Web Page

Les Modèles Flous Takagi-Sugeno

samedi 19 juillet 2003
par  Yann
popularité : 4%

Modèle T-S, PDC, LMIs et Réseaux de Neurones

Modèle T-S, PDC, LMIs et Réseaux de Neurones

Yann Morère

LAMIH, U.M.R. CNRS 8530, Université de Valenciennes
BP 311 Le Mont-Houy, 59300 Valenciennes Cedex
Phone: +33 03 27 14 14 87, Fax: +33 03 27 14 12 94
email:morere@univ-valenciennes.fr

Résumé

Cet article présente un survol de différentes publications concernant la stabilisation des systèmes automatiques non-linéaires représentés par des modèles flous de type Takagi & Sugeno. L'obtention du régulateur flou est basée sur l'utilisation du concept PDC (Parallel Distributed Compensation). Leur stabilité du système flou complet est vérifiée par l'intermédiaire des LMIs, outil mathématique puissant utilisé pour la résolution de problèmes semidéfinis (SDP).

Table des Matières

1  Introduction
2  Modèles Flous de types Takagi & Sugeno
3  Analyse de la stabilité
    3.1  Analyse de la Stabilité par l'approche de Lyapunov
4  Régulateurs flous et conditions de stabilité relachées
    4.1  Conception de régulateur flou par approche PDC (Parallel Distibuted Compensation)
    4.2  Conditions de stabilité du système complet
    4.3  Conditions de stabilité relachée
    4.4  Conception du régulateur flou par LMIs (Linear Matrix Inequalities)
        4.4.1  Définition d'une LMI
        4.4.2  Condition de stabilité de Lyapunov sous forme LMI
        4.4.3  Conditions de stabilité revisitées par les LMIs
5  Observateurs Flous
6  Conception LMIs pour les systèmes augmentés
    6.1  Etude de la stabilité dans le Cas A
    6.2  Etude de la stabilité dans le Cas B
    6.3  Exemples
7  Critère de stabilité des systèmes à base de réseaux de neurones
    7.1  Modèle d'un réseau de neurones
    7.2  Modèlisation d'un réseau de neurones par un modèle T-S
    7.3  Critère de stabilité de système à base de réseau de neurones
        7.3.1  Conditions de stabilité pour réseau monocouche simple
        7.3.2  Conditions de stabilité pour système flou bouclé
    7.4  Analyse de la stabilité

Table des Figures

    1  Conception du régulateur flou par PDC
    2  Représentation du Système augmenté
    3  Système flou augmenté (Schéma Bloc Simulink)
    4  Commande du système flou augmenté dans la cas 1
    5  Vecteur d'état du système flou augmenté dans la cas 1
    6  Sorties du système flou augmenté dans la cas 1
    7  Commande du système flou augmenté dans la cas 2
    8  Vecteur d'état du système flou augmenté dans la cas 2
    9  Sorties du système flou augmenté dans la cas 2
    10  Réseau de neurones multicouches type feedforward
    11  Système de commande basé sur les réseaux de neurones
    12  Réseau de neurone simple
    13  Representation de l'interpoltion de f(v)
    14  Réseau à 3 couches à 2 entrées

1  Introduction

D'après [ Ghaoui1997] un problème de commande se décompose en trois sous-problèmes :
  • problème de modélisation : obtenu par des connaissances a priori et/ou mesures d'entrées-sorties

  • problème de robustesse : capacité à conserver ses propriétés nominales.

  • probléme de synthèse : recherche d'un ensemble de paramètres de contrôle afin d'avoit un certain niveau de robustesse.

Le regroupement de ces trois problèmes forment le problème de commande.
La stabilité est une des choses les plus importantes en automatique des systèmes non linéaires. La plupart du temps l'approche typique de la stabilisation des systèmes non linéaires est de réaliser une commande par retour d'état linéaire. On peut donc s'assurer de la stabilité de notre système autour de point de fonctionnement mais on ne peut assurer la stabilité globale.
L'approche présentée dans les documents étudiés n'est pas locale : le système est représenté par un modèle flou non linéaire de type T-S (reference). Dans cette représentation les dynamiques locales dans les différents espaces d'états sont représentés par des systèmes linéaires.
La conception de la commande est basée sur la loi PDC (Parallel Distributed Compensation). L'idée est, que pour chaque sous-modèle, la commande compense son effet par un retour d'état. Le système global comprenant le système ainsi que le régulateur, donne un système non linéaire.
La loi de commande est basée sur l'approche PDC (Parallel Distributed Compensation) [ Wang et al. 1996], dont l'idée principale est de compenser l'action des sous-modèles linéaire du système flou.

2  Modèles Flous de types Takagi & Sugeno

Le modèle flou proposé par Takagi et Sugeno est décrit par des règles floues du type "Si .... Alors ..." qui représentent localement des relations d'entrées sorties du système. La i ème règle du modèle flou T-S est définie par les équations suivantes (forme continue CFS et forme discrète DFS) :
<CFS>
 
Règle i du procédé :
Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est Mi2 ... et zp(k) est Mip
Alors {
[x\dot](t)=Aix(t)+Biu(t)
y(t)=Cix(t)
i=1,2,Œ,r
<DFS>
 
Règle i du procédé :
Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est Mi2 ... et zp(k) est Mip
Alors {
x(t+1)=Aix(t)+Biu(t)
y(t)=Cix(t)
i=1,2,Œ,r
Où i=1 ... r est le nombre de règles, Mij sont les sous-ensembles flous. x(t) Î \mathbb Rn×n est le vecteur d'état, u(t) Î \mathbb Rm est le vecteur d'entrée, y(t) Î \mathbb Rq est le vecteur de sortie, Ai Î \mathbb Rn×n,Bi Î \mathbb Rn×m et Ci Î \mathbb Rq×n . z1(t) ~ zp(t) sont les variables de prémisses.
La sortie global du système flou inferré en boucle fermée est donnée par les équations suivantes :
<CFS>

×
x
 
(t)
=
r
å
i=1 
wi(z(t)){Aix(t)+Biu(t)}

r
å
i=1 
wi(z(t))
=
r
å
i=1 
hi(z(t)){Aix(t)+Biu(t)}
(1)
y(t)
=
r
å
i=1 
wi(z(t))Cix(t)

r
å
i=1 
wi(z(t))
=
r
å
i=1 
hi(z(t))Cix(t)
(2)
<DFS>

x(t+1)
=
r
å
i=1 
wi(z(t)){Aix(t)+Biu(t)}

r
å
i=1 
wi(z(t))
=
r
å
i=1 
hi(z(t)){Aix(t)+Biu(t)}
(3)
y(t)
=
r
å
i=1 
wi(z(t))Cix(t)

r
å
i=1 
wi(z(t))
=
r
å
i=1 
hi(z(t))Cix(t)
(4)
Où z(t)=[ z1(t) z2(t) Œ zp(t)] , wi(z(t))=Õpj=1Mij(zj(t)) et hi(z(t))=[(wi(z(t)))/(åri=1wi(z(t)))] pout tout t . Mij(zj(t)) est le degrés d'appartenance de zj(t) à Mij .

3  Analyse de la stabilité

Afin d'étudier la stabilité des systèmes non linéaires, on les représent par des modèles flous de types Takagi Sugeno. Les dynamiques du système sont capturées par les implications floues qui caractérisent les relations locales dans l'espace d'état.
La principale caractéristique du modèle flou Takagi-Sugeno est d'exprimer les dynamiques locales de chaque implications par un système linéaire.
D'après les équations 1, 2, 3 et 4 le système autonome en boucle ouverte nous donne :
<CFS>
 

×
x
 
(t)=
r
å
i=1 
wi(z(k))Aix(k)

r
å
i=1 
wi(z(k))
= r
å
i=1 
hi(z(k))Aix(k)
(5)
<DFS>
 

x(t+1)=
r
å
i=1 
wi(z(k))Aix(k)

r
å
i=1 
wi(z(k))
= r
å
i=1 
hi(z(k))Aix(k)
(6)
En utilisant l'approche de Lyapunov, nous pouvons déduire des conditions qui assurent la stabilisation du système. Ces conditions sont données dans le paragraphe suivant.

3.1  Analyse de la Stabilité par l'approche de Lyapunov

Les conditions de stabilité de Lyapunov sont définies dans [ Tanaka et Sugeno1992] par :
Dans le cas continu :
<CFS>
 
Théorème 1 Le système flou continu est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 telle que
ATiP+PAi < 0       i=1,...,r
(7)
Dans le cas discret :
<DFS>
 
Théorème 2 Le système flou discret est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 telle que
ATiPAi-P < 0       i=1,...,r
(8)
Cette matrice P est commune à tous les sous-modèles. Si r=1 alors le problème est ramené au cas linéaire.
La condition de stabilité est déduite en utilisant une fonction quadratique V(x)=xTPx . Le système est dit quadratiquement stable et V est la fonction quadratique de Lyapunov.
Pour vérifier la stabilité des modèles flous, il n'y a pas de procédure systématique pour tester l'existence de P . La plupart du temps ceci est réalisé par essais-erreurs.
On peut considérer ce problème comme un problème d'optimisation convexe (problème semidéfinis SDP) et utiliser les outils mathématiques LMIs (Linear Matrix Inequalities) qui a pour but d'enlever la partie empirique de l'opération et d'avoir une résolution de problème en temps polynomial.
Afin de vérifier la stabilité il faut trouver la matrice P commune à tous les sous-systèmes flous Ai de notre modèle.
A ce stade une question peut se poser : est ce que le système global est stable si tous les sous systèmes sont stables individuellement c-à-d si tous les Ai sont stables : la réponse est non en général pour les théorèmes 1 et 2.

4  Régulateurs flous et conditions de stabilité relachées

4.1  Conception de régulateur flou par approche PDC (Parallel Distibuted Compensation)

Ce concept est basé sur la mise en oeuvre du contrôleur flou afin de stabilisé les systèmes flous via un modèle flou du procédé. L'idée est de créé un compensateur pour chaque règle du modèle flou.
La procédure est la suivante :
  • Représentation flou T-S du système à commander

  • Chaque règle de commande est conçue à partir de la règle du modèle flou précédement définit.

  • Une loi de commande linéaire ast alors appliquée à chaque sous modèle flou

Le régulateur ainsi conçu partage la même base de règles que le modèle flou (pour sa partie prémisse).
Le concept PDC utilise une loi de commande linéaire pour chaque sous-modèle. Le résultat est non linéaire en général. Le contrôleur ainsi conçu partage les même sous-ensembles flous que le modèle. Cf la figure 1.
dessins/pdc.png
Figure 1: Conception du régulateur flou par PDC
Le régulateur est définit de la façon suivante :
Règle i : Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est Mi2 ... et zp(k) est Mip Alors u(t)=-Fix(k)       i=1,...,r .
Le régulateur possède un loi de retour d'état linéaire donc la forme suivante :
u(t)
=
-
r
å
i=1 
wi(z(t))Fix(k)

r
å
i=1 
wi(z(t))
=
- r
å
i=1 
hi(z(t))Fix(k)
(9)
La conception du régulateur revient à déterminer les gains locaux Fi dans la partie conclusion des règles de la loi PDC.
En substituant 9 dans 1 et 3 on obtient pour le cas continu  :
<CFS>

×
x
 
(t)=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
wi(z(t))wj(z(t)){Ai-BiFj}x(k)

r
å
i=1 
r
å
j=1 
wi(z(t))wj(z(t))
= r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(z(t)){Ai-BiFj}x(k)
(10)
<DFS>

x(t+1)=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
wi(z(t))wj(z(t)){Ai-BiFj}x(k)

r
å
i=1 
r
å
j=1 
wi(z(t))wj(z(t))
= r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(z(t)){Ai-BiFj}x(k)
(11)
En posant Gij=( Ai-BiFj) on peut encore écrire :
<CFS>

×
x
 
(t)
=
r
å
i=1 
hi(z(t))hi(z(t))Giix(k)
(12)
+
r
å
i < j 
hi(z(t))hj(z(t)) ì
í
î
 Gij+Gji

2
ü
ý
þ
x(k)
<CFS>

x(t+1)
=
r
å
i=1 
hi(z(t))hi(z(t))Giix(k)
(13)
+
r
å
i < j 
hi(z(t))hj(z(t)) ì
í
î
 Gij+Gji

2
ü
ý
þ
x(k)

4.2  Conditions de stabilité du système complet

On peut alors en déduire les conditions suffisantes de stabilité d'après 7 et 8 :
<CFS>
 
Théorème 3 Le système complet continu est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive telle que :
GTiiP+PGii < 0
(14)
æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
T

 
P+P æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
£ 0
i < j
(15)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
<DFS>
 
Théorème 4 Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive telle que :
GTiiPGii-P < 0
(16)
æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
T

 
P æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
-P £ 0
i < j
(17)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
Ces 2 théorèmes découlent directement des théorèmes 1 et 2.

4.3  Conditions de stabilité relachée

On a vu précedement que prouver la stabilité d'un système flou revenait à trouver une matrice P qui vérifie les conditions de stabilité. Si le nombre de règles r est assez grand il peut être difficile de trouver celle-ci. C'est pourquoi l'idée est de relacher les conditions de stabilité [ Tanaka et al. 1998] afin de rendre l'opération plus facile. Pour cela il est nécéssaire de vérifier :
r
å
i=1 
h2i(z(t))-  1

r-1
r
å
i < j 
2hi(z(t))hj(z(t)) ³ 0

r
å
i=1 
hi(z(t))=1,  hi(z(t)) ³ 0
pour tout i . Ceci est vérifié par åri=1h2i(z(t))-[ 1/(r-1)]åri < j2hi(z(t))hj(z(t))=[ 1/(r-1)]åri < j{ hi(z(t))-hj(z(t))} 2 ³ 0 .
Dans [ Tanaka et al. 1998], les conditions de stabilité relachées suivantes sont définies de la manière suivante:
<CFS>
 
Théorème 5 Le système complet continu est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive et une matrice Q commune positive semi définie telles que :
GTiiP+PGii+(s-1)Q < 0
(18)
æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
T

 
P+P æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
-Q £ 0
i < j
(19)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
<DFS>
 
Théorème 6 Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive telle et une matrice Q commune positive semi définie telles que :
GTiiPGii-P+(s-1)Q < 0
(20)
æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
T

 
P æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
-P-Q £ 0
i < j
(21)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj

4.4  Conception du régulateur flou par LMIs (Linear Matrix Inequalities)

4.4.1  Définition d'une LMI

Une classe de problème d'optimisation numérique appelée les problèmes LMI sont resolvables en temps polynômial (par opposition aux techniques d'optimisation stochastiques qui elles n'ont pas de limite de temps de résolution). Pour la commande de système on peut reconsidérer notre problème en un problème LMI. Il faut alors le mettre sous forme LMI.
Une LMI est une inégalité matricielle de la forme [ Tanaka et Sugeno1992] :
F(x)=F0+ m
å
i=1 
xiFi > 0
(22)
où xT(x)=( x1,x2,Œ,xn) et la variable recherchée et les matrices symétriques Fi=FTi Î \mathbb Rn×n, i=0,Œ,m sont données et F(x) est définie positive. La LMI représente une contrainte convexe sur x soit x/F(x) > 0 . Cette LMI peut regrouper plusieurs contraintes convexes sur x .

4.4.2  Condition de stabilité de Lyapunov sous forme LMI

L'inégalité de Lyapunov peut être considérée comme une LMI. En effet au départ cette équation n'est pas écrite sous la forme standard F(x) > 0 . On peut alors remettre l'équation sous la forme d'un LMI standard en prenant F0=0 et Fi=ATPiA-Pi où P1,P2,Œ,Pm sont les bases d'une matrice symétriques n×n .
Un problème LMI est posé de la façon suivante : Soit une LMI F(x) > 0 , le problème LMI est de trouve xfeas tel que F(xfeas) > 0 . C'est un problème de faisabilité convexe.
Le problème de stabilisation de Lyapunov est un problème LMI. En effet si on considère les matrices Ai Î \mathbb Rn×n, i=1,Œ,r , on doit trouver la matrice P , définie positive qui vérifie les LMIs suivantes dans le cas discret :
P > 0,       ATiPAi-P < 0,       i=1,2,Œ,r
Les conditions de stabilité ont été reconditionnées sous forme LMIs. Cette transformation permet d'utiliser des algorithmes d'optimisation convexes performants pour la commande et la stabilisation des systèmes complexes dans le cadres des modèles de Takagi Sugeno et commande PDC.
La procédure de conception du régulateur flou est itérative. Pour chaque règle un régulateur est déterminé. Ensuite une vérification de la stabilité par LMIs est appliquée afin de prouver que le régulateur ainsi conçu stabilise le système. Si par hasard le régulateur ne convenait pas on recommence la procédure de conception au départ.
Mais du point de vue de la commande, il est préférable de concevoir le régulateur en une seul fois. Donc ici les LMIs ont une grande impotance : elles permettent de reconsidérer le problème de commande du système en boucle fermée d'une manière unifiée en utilisant le modèle Takagi Sugeno et le conception PDC.
Exemple de mise en forme de problème sous forme LMIs :
On consigère le cas où r=1 , c-à-d qu'il n'y a qu'une seule règle. Le système devient donc linéaire invariant dans le temps.
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
(23)
D'après le théorème 3 on peut écrire que le système est quadratiquement stable si il existe une matrice P > 0 telle que :
{ A-BF} TP{ A-BF} -P < 0
Le problème de commande revient doncà trouver les gains de retour d'état F tels que le système bouclé soit stable. Il est alors possible de redéfinir le problème en problème LMIs.
En multipliant l'inégalité à gauche et à droite par P-1 et en définissant le changement du variable suivant Q=P-1 on peut alors écrire :
Q{ A-BF} TQ-1{ A-BF} Q-Q < 0
(24)
Puis on définit K=FQ tel que pour Q > 0 on aie F=KQ-1 . En remplaçant dans 24 on a :
Q-{ AQ-BK} TQ-1{ AQ-BK} > 0
(25)
En utilisant le lemme de Schur on peut écrire :
é
ê
ë
Q
( AQ-BK) T
( AQ-BK)
Q
ù
ú
û
> 0
(26)
D'ici le système est dit quadratiquement stable si il existe une matrice Q > 0 et K qui vérifient l'inégalité 26.
Lemme 1 (Schur) Soit Q=Qt , R=RT et S des matrices de tailles appropriée. La condition
é
ê
ë
Q
S
ST
R
ù
ú
û
³ 0
est équivalente à
R ³ 0,Q-SR+ST ³ 0,S(I-RR+)=0,
où R+ dénote l'inverse de Moore-PenRose de R .
Il est alors possible d'étendre cette approche aux modèles flous de types T-S à plusieurs règles. Pour l'instant la stabilisation quadratique est faite par une commande par retour d'état. On peut alors écrire :
Q > 0,
é
ê
ë
Q
( AiQ-BiK) T
( AiQ-BiK)
Q
ù
ú
û
> 0
i=1,2,Œ,r
(27)
avec les gains de retour d'état F=KQ-1 .
Il est possible aussi d'utilisé les lois de commandes PDC avec cette résolution par LMIs.

4.4.3  Conditions de stabilité revisitées par les LMIs

D'après les conditions relachées décrites dans le théorème 5 et 6, le problème est de déterminer les gains Fi dans le cas continu tels que :
<CFS>
 
Il faut trouver X > 0,Y ³ 0 et Mi  (i=1 ~ r) tels que :
-XATi-AiX+MiTBiT+BiMi-(s-1)Y > 0
(28)
2Y-XATi-AiX-XATj-AjX
+MjTBiT+BiMj+MiTBjT+BjMi ³ 0
i < i
(29)

X=P-1,    Mi=FiX,    Y=XQX
(30)
Toutes ces inégalités sont des LMIs dont les variables sont X,Y et Mi . C'est un problème de faisabilité convexe. On peut résoudre ce problème grâce à des outils mathématiques récents (par exemple la toolbox LMI de matlab). On peut alors déterminer les gains de retours d'état Fi dans le cas d'une commande PDC, la matrice définie positive P et la matrice Q d'après les équations suivantes :
P=X-1,  Fi=MiX-1,  Q=PYP
(31)
dans le cas discret :
<DFS>
 
Il faut trouver X > 0,Y ³ 0 et Mi  (i=1 ~ r) tels que :
é
ê
ë
X-(s-1)Y
XATi-MiTBiT
AiX-BiMi
X
ù
ú
û
> 0
(32)
é
ê
ë
X+Y
1/2·{ AiX+AjX-BiMj-BjMi}
1/2·{ AiX+AjX-BiMj-BjMi} T
X
ù
ú
û
³ 0
i < i
(33)

X=P-1,    Mi=FiX,    Y=XQX
(34)
Toutes ces inégalités sont des LMIs dont les variables sont X,Y et Mi . C'est un problème de faisabilité convexe. On peut résoudre ce problème grâce à des outils mathématiques récents (par exemple la toolbox LMI de matlab). On peut alors déterminer Les gains de retours d'état Fi dans le cas d'une commande PDC, la matrice définie positive P et la matrice Q d'après les équations suivantes :
P=X-1,  Fi=MiX-1,  Q=PYP
(35)

5  Observateurs Flous

Nous avons besoin d'observateurs flous dans les systèmes où l'état, ou bien toutes les variables d'état, ne sont pas directement observables. A ce moment il convient de concevoir un observateur qui donnera une estimation de l'état du système. Les obervateurs flous doivent vérifier x(t)-[^x](t)® 0 quand t® ¥ où [^x](t) représente le vecteur d'état estimé par l'observateur flou basé sur un modèle T-S.
Dans le cas continu le régulateur est défini de la façon suivante :
<CFS>
 
Règle i de l'observateur :
Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est Mi2 ... et zp(k) est Mip
Alors
^
×
x
 
(t)=Ai
^
x
 
(t)+Biu(t)+Ki(y(t)-
^
y
 
(t)),    i=1,2,Œ,r
(36)
Dans le cas discret le régulateur est défini de la façon suivante :
<DFS>
 
Règle i du procédé :
Si z1(k) est Mi1 et z2(k) est Mi2 ... et zp(k) est Mip
Alors
^
x
 
(t+1)=Ai
^
x
 
(t)+Biu(t)+Ki(y(t)-
^
y
 
(t)),    i=1,2,Œ,r
(37)
Où i=1 ... r est le nombre de règles, Mij sont les sous-ensembles flous du modèle du procédés. [^x](t) Î \mathbb Rn×n est le vecteur d'état estimé, u(t) Î \mathbb Rm est le vecteur d'entrée, y(t) Î \mathbb Rq,[^y](t) Î \mathbb Rq sont les vecteurs de sortie réels et estimés, Ai Î \mathbb Rn×n,Bi Î \mathbb Rn×m et Ci Î \mathbb Rq×n . z1(t) ~ zp(t) sont les variables de prémisses.
La sortie du estimée de l'observateur est donnée par les équations suivantes : [^y](t)=åri=1hi(z(t))Ci[^x](t) ou [^y](t)=åri=1hi([^z](t))Ci[^x](t) .
L'observateur flou possède des lois linéaires dans sa partie conclusion. L'observateur flou complet est décrit par l'équation :
<CFS>

^
×
x
 
(t)
=
r
å
i=1 
wi(z(t)) ì
í
î
Ai
^
x
 
(t)-Biu(t)+Ki æ
è
y(t)-
^
y
 
(t) ö
ø
ü
ý
þ

r
å
i=1 
wi(z(t))
=
r
å
i=1 
hi(z(t)) ì
í
î
Ai
^
x
 
(t)-Biu(t)+Ki æ
è
y(t)-
^
y
 
(t) ö
ø
ü
ý
þ
(38)
<DFS>

^
x
 
(t+1)
=
r
å
i=1 
wi(z(t)) ì
í
î
Ai
^
x
 
(t)-Biu(t)+Ki æ
è
y(t)-
^
y
 
(t) ö
ø
ü
ý
þ

r
å
i=1 
wi(z(t))
=
r
å
i=1 
hi(z(t)) ì
í
î
Ai
^
x
 
(t)-Biu(t)+Ki æ
è
y(t)-
^
y
 
(t) ö
ø
ü
ý
þ
(39)
Ici les poids wi(z(t)) sont les mêmes que ceux de la i ème règle du modèle. La conception de l'observateur flou revient à trouver les gains Ki de la partie conclusion.

6  Conception LMIs pour les systèmes augmentés

Le système augmenté comprend (Cf. figure 2):
  • le procédé

  • l'observateur flou

  • le regulateur

dessins/sys_augmente.png
Figure 2: Représentation du Système augmenté
Ce système doit donc vérifié : x(t)® 0 quand t® ¥ et x(t)-[^x](t)® 0 quand t® ¥.
Deux cas peuvent alors se présenter à nous :
Cas A
Soit z1(t) ~ zp(t) ne dépendent pas des variables d'états estimées par l'observateur flou
Cas B
Soit z1(t) ~ zp(t) dépendent des variables d'états estimées par l'observateur flou
L'étude de la stabilité dans le cas A est assez simple alors que l'étude da ns le cas B devient vite très complexe.

6.1  Etude de la stabilité dans le Cas A

A la place de l'équation 9 il faudra utilisé :
u(t)
=
-
r
å
i=1 
wi(z(t))Fi
^
x
 
(k)

r
å
i=1 
wi(z(t))
=
r
å
i=1 
hi(z(t))Fi
^
x
 
(k)
(40)
et donc d'après les équations 38,39 et 40 avec e(t)=x(t)-[^x](t) , on peut écrire :
<CFS>

×
x
 
(t)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(z(t))·{ ( Ai-BiFj) x(t)+BiFje(t)}
×
e
 
(t)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(z(t))·{ ( Ai-KiCj) } e(t)
<DFS>

x(t+1)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(z(t))·{ ( Ai-BiFj) x(t)+BiFje(t)}
e(t+1)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(z(t))·{ ( Ai-KiCj) } e(t)
On peut alors représenté le système augmenté par :
<CFS>

×
x
 

a 
(t)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(z(t))·Gijxa(t)
=
r
å
i=1 
hi(z(t))hi(z(t))·Giixa(t)
+2 r
å
i < j 
hi(z(t))hi(z(t))·  Gij+Gji

2
xa(t)
(41)
<DFS>

×
x
 

a 
(t+1)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(z(t))·Gijxa(t)
=
r
å
i=1 
hi(z(t))hi(z(t))·Giixa(t)
+2 r
å
i < j 
hi(z(t))hi(z(t))·  Gij+Gji

2
xa(t)
(42)
Avec :
xa(t)
=
é
ê
ë
x(t)
e(t)
ù
ú
û
Gij
=
é
ê
ë
Ai-BiFj
BiFj
0
Ai-KiCj
ù
ú
û
(43)
dans41 et 42.
On peut alors déduire les théorèmes suivants d'après les théorèmes 3 et 4:
<CFS>
 
Théorème 7 Le système augmenté continu est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive :
GTiiP+PGii < 0
(44)
æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
T

 
P+P æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
£ 0
i < j
(45)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
<DFS>
 
Théorème 8 Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive :
GTiiPGii-P < 0
(46)
æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
T

 
P æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
-P £ 0
i < j
(47)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
On peut ensuite déduire les théorèmes suivants d'après les théorèmes 5 et 6 :
<CFS>
 
Théorème 9 Le système complet continu est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive et une matrice Q commune positive semi définie telles que :
GTiiP+PGii+(s-1)Q < 0
(48)
æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
T

 
P+P æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
-Q £ 0
i < j
(49)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj
<DFS>
 
Théorème 10 Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive telle et une matrice Q commune positive semi définie telles que :
GTiiPGii-P+(s-1)Q < 0
(50)
æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
T

 
P æ
è
 Gij+Gji

2
ö
ø
-P-Q £ 0
i < j
(51)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj(z(t))=0 avec Gij=Ai-BiFj

6.2  Etude de la stabilité dans le Cas B

Ce cas représente le fait que les variables de premisses z(t) sont inconnues. On doit alors utiliser les wi([^z](t)) à la place de wi(z(t)) dans le contrôleur flou. Ceci veut dire que hi(z(t)) ¹ hi([^z](t)) . Le régulateur flou s'écrit alors de la manière suivante :
u(t)
=
-
r
å
i=1 
wi(z(t))Fi
^
x
 
(k)

r
å
i=1 
wi(z(t))
=
r
å
i=1 
hi(z(t))Fi
^
x
 
(k)
(52)
L'observateur flou devient :
<CFS>

^
×
x
 
(t)= r
å
i=1 
hi(
^
z
 
(t)) ì
í
î
Ai
^
x
 
(t)-Biu(t)+Ki æ
è
y(t)-
^
y
 
(t) ö
ø
ü
ý
þ
(53)
<CFS>

^
x
 
(t+1)= r
å
i=1 
hi(
^
z
 
(t)) ì
í
î
Ai
^
x
 
(t)-Biu(t)+Ki æ
è
y(t)-
^
y
 
(t) ö
ø
ü
ý
þ
(54)
Le système augmenté est obtenu de la manière suivante :
<CFS>
 

×
x
 

a 
(t)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1s 
r
å
=1 
hi(z(t))hj(
^
z
 
(t))hs(
^
z
 
(t))Gijsxa(t)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(
^
z
 
(t))hj(
^
z
 
(t))Gijjxa(t)
+2· r
å
i=1 
r
å
j < s 
hi(z(t))hj(
^
z
 
(t))hs(
^
z
 
(t))·  Gijs+Gisj

2
xa(t)
(55)
<CFS>

xa(t+1)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1s 
r
å
=1 
hi(z(t))hj(
^
z
 
(t))hs(
^
z
 
(t))Gijsxa(t)
=
r
å
i=1 
r
å
j=1 
hi(z(t))hj(
^
z
 
(t))hj(
^
z
 
(t))Gijjxa(t)
+2· r
å
i=1 
r
å
j < s 
hi(z(t))hj(
^
z
 
(t))hs(
^
z
 
(t))·  Gijs+Gisj

2
xa(t)
(56)
avec :
xa(t)
=
é
ê
ë
x(t)
e(t)
ù
ú
û
e(t)
=
x(t)-
^
x
 
(t)
Gijs
=
é
ê
ë
Ai-BiFs
BiFs
S1ijs
S2ijs
ù
ú
û
S1ijs
=
( Ai-Aj) -( Bi-Bj) Fs+Kj( Cs-Ci)
S2ijs
=
Aj-KjCs+( Bi-Bj) Fs
(57)
Les théorèmes de stabilité pour le système augmenté sont les suivants :
<CFS>
 
Théorème 11 Le système augmenté continu est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive :
GTijjP+PGijj < 0
(58)
æ
è
 Gijs+Gisj

2
ö
ø
T

 
P+P æ
è
 Gijs+Gisj

2
ö
ø
< 0
i < s
(59)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj([^z](t))hs([^z](t))=0
<DFS>
 
Théorème 12 Le système complet discret est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 définie positive :
GTijjPGijj-P < 0
(60)
æ
è
 Gijs+Gisj

2
ö
ø
T

 
P æ
è
 Gijs+Gisj

2
ö
ø
-P < 0
i < s
(61)
pour tous les   i et j , sauf les paires (i,j) telles que hi(z(t))hj([^z](t))hs([^z](t))=0
Maintenant il est impossible d'appliquer les conditions relachées du fait de hi(z(t)) ¹ hi([^z](t)) .

6.3  Exemples

Soit le système non-linéaire suivant [ Tanaka et al. 1998] :
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
î
×
x
 

1 
(t)=x2(t)+sinx3(t)+( x21(t)+1) u(t)
×
x
 

2 
(t)=x1(t)+2x2(t)
×
x
 

3 
(t)=x21(t)x2(t)+x1(t)
×
x
 

4 
(t)=sinx3(t)
y1(t)=( x21(t)+1) x4(t)+x2(t)
y2(t)=x2(t)+x3(t)
On suppose que x1(t) et x3(t) sont observables et que x1(t) Î [ -a,a] et x3(t) Î [ -b,b] avec a,b > 0 . Les non linéarités du systèmes sont x21(t) et x3(t) .
Ces non linéarités seront représentées par :

x21(t)
=
F11( x1(t)) ·a2+F21( x1(t)) ·0
sinx3(t)
=
F12( x3(t)) ·1·x3(t)+F22( x3(t)) ·  sinb

b
·x3(t)
où F11( x1(t)) ,F21( x1(t)) ,F12( x3(t)) ,F22( x3(t))    Î   [ 0    1] et F11( x1(t)) +F21( x1(t)) = 1,    F12( x3(t)) +F22( x3(t)) = 1 .
On obtient alors :

F11( x1(t))
=
 x21

a2
F21( x1(t))
=
1-F11( x1(t)) = 1-  x2(t)

a2
F12( x3(t))
=
ì
ï
í
ï
î
 b·sinx3(t)-sinb·x3(t)

x3(t)·(b-sinb)
,
x3(t) ¹ 0
1,
x3(t)=0
F22( x3(t))
=
1-F12( x3(t))
=
ì
ï
í
ï
î
 b·( x3(t)-sinx3(t))

x3(t)·(b-sinb)
,
x3(t) ¹ 0
1,
x3(t)=0
F11,F21,F12,F22 sont les fonctions d'appartenance aux ensembles flous. Le système peut alors être représenter par le modèle flou T-S suivant :
Règle 1 du procédé :
Si x1(t) est F11 et x3(t) est F12
Alors {
[x\dot](t)=A1x(t)+B1u(t)
y(t)=C1x(t)
Règle 2 du procédé :
Si x1(t) est F11 et x3(t) est F22
Alors {
[x\dot](t)=A2x(t)+B2u(t)
y(t)=C2x(t)
Règle 3 du procédé :
Si x1(t) est F21 et x3(t) est F12
Alors {
[x\dot](t)=A3x(t)+B3u(t)
y(t)=C3x(t)
Règle 4 du procédé :
Si x1(t) est F21 et x3(t) est F22
Alors {
[x\dot](t)=A4x(t)+B4u(t)
y(t)=C4x(t)
avec : x(t)=[ x1(t)    x(t)    x3(t)    x4(t)]
A1=[
0
1
1
0
1
2
0
0
1
a2
0
0
0
0
1
0
] ,       B1=[
1+a2
0
0
0
]
C1=[
0
1
0
1+a2
0
1
1
0
]
A2=[
0
1
sin(b)/b
0
1
2
0
0
1
a2
0
0
0
0
sin(b)/b
0
] ,       B2=[
1+a2
0
0
0
]
C2=[
0
1
0
1+a2
0
1
1
0
]
A3=[
0
1
1
0
1
2
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
] ,       B3=[
1
0
0
0
]
C3=[
0
1
0
1
0
1
1
0
]
A4=[
0
1
sin(b)/b
0
1
2
0
0
1
0
0
0
0
0
sin(b)/b
0
] ,       B4=[
1
0
0
0
]
C4=[
0
1
0
1
0
1
1
0
]
Le système flou augmenté (régulateur + observateur) a été modélisé sous matlab (Cf. figure 3).Les essais en simulation ont été faits sur 20s. Les figures 4,5,6,7,8 et 9 représentent l'évolution du système dans deux cas :
  • Applications des conditions de stabilité non relachées

  • Applications des conditions de stabilité relachées

dessins/obstanaka.png
Figure 3: Système flou augmenté (Schéma Bloc Simulink)
Cas 1:
Utilisation des conditions de stabilité du théorème 7.
Afin de trouver les différents gains Fi du régulateur et Ki de l'observateur. Grâce à la représentation LMI on détermine la matrice P commune qui permettra de trouver les gains Fi pour le régulateur puis ensuite avec la même procédure on détermine les gains Ki . Ensuite on calcule les Gij et toujours avec les LMIs on vérifie l'existance d'une matrice P commune.
Les gains Fi et Ki sont donné pour a=0.8 et b=0.6  :
F1=[ 2.9531 16.3137 -2.1505 -0.8386]
F2=[ 2.9595 16.4107 -2.2029 -0.8499]
F3=[ 4.1290 22.1692 -2.6109 -1.0750]
F4=[ 4.1183 22.1452 -2.6450 -1.0795]
K1=[
0.9677
-1.0199
-3.9982
16.8569
2.6925
-9.1925
3.3120
-10.4172
]
K2=[
0.9689
-1.0493
-3.9474
16.8305
2.6614
-9.1764
3.2848
-10.4314
]
K3=[
0.8200
0.2648
-2.8506
9.8821
1.9907
-5.2905
2.5694
-5.2806
]
K4=[
0.8210
0.2353
-2.7826
9.8478
1.9493
-5.2696
2.5280
-5.2909
]
dessins/commande.png
Figure 4: Commande du système flou augmenté dans la cas 1
dessins/etat.png
Figure 5: Vecteur d'état du système flou augmenté dans la cas 1
dessins/sortie.png
Figure 6: Sorties du système flou augmenté dans la cas 1
Cas 2:
Utilisation des conditions de stabilité relâchées du théorème 9.
Afin de trouver les différents gains Fi du régulateur et Ki de l'observateur. Grâce à la représentation LMI on détermine les matrices P et Q communes qui permettront de trouver les gains Fi pour le régulateur puis ensuite avec la même procédure on détermine les gains Ki . Ensuite on calcule les Gij et toujours avec les LMIs on vérifie l'existance d'une matrice P et Q communes.
Les gains Fi et Ki sont donné pour a=0.8 et b=0.6  :
F1=[ 5.6454 39.0780 -8.3357 -2.5724]
F2=[ 5.6417 39.0312 -8.3586 -2.5651]
F3=[ 8.2077 56.2364 -11.4517 -3.6427]
F4=[ 8.1999 56.1757 -11.4769 -3.6450]
K1=[
0.9732
-2.4108
-4.2109
24.2096
2.9944
-14.5644
3.7561
-17.3294
]
K2=[
0.9800
-2.4442
-4.1900
24.2022
2.9810
-14.5697
3.7499
-17.3583
]
K3=[
0.7574
-0.5729
-2.6799
14.0417
2.0001
-8.3445
2.6443
-9.2274
]
K4=[
0.7623
-0.6049
-2.3212
14.0142
1.9622
-8.3268
2.2.6128
-9.2422
]
dessins/commande_rel.png
Figure 7: Commande du système flou augmenté dans la cas 2
dessins/etat_rel.png
Figure 8: Vecteur d'état du système flou augmenté dans la cas 2
dessins/sortie_rel.png
Figure 9: Sorties du système flou augmenté dans la cas 2
Remarque :
Il convient de faire remarquer que les conditions relâchées permettent d'obtenir une stabilisation plus rapide du système. De même la commande appliquée est beaucoup plus douce.

7  Critère de stabilité des systèmes à base de réseaux de neurones

Beaucoup d'études ont été faites sur l'application des réseaux de neurones à la commande adaptative [ Narenda et Parthasarathy1990]. La plus grande des critiques qui aie été faite envers ces méthodes concerne la stabilité de tels systèmes. Il n'y a aucun doute sur leur efficacité mais les études concernant leurs stabilités est quasiment inexistante. En effet il y a beaucoup de problème pour étudier la stabilité des systèmes à base de réseaux de neurones. Tout d'abord les réseaux de neurones étant par essence non linéaires, il faut donc utiliser les techniques d'analyse destabilité non linéaire. Les études récentes sur l'analyse de la stabilité des sytèmes flous [ Tanaka et Sugeno1990] et [ Tanaka et Sugeno1992] permettent de dégager des méthodes pour l'étude de la stabilisation des systèmes neuro-flous.
Afin d'appliqués ces méthodes aux réseaux de neurones, il convient de représenter ces derniers sous la forme d'un système flou.

7.1  Modèle d'un réseau de neurones

Le type de réseau de neurones utilisé pour cette étude est l'un des plus répandu : un réseau multicouche feeforward ou perceptron avec pour fonction de transfert une fonction sigmoïde du type :
f(v)=s æ
ç
è
 2

1+exp æ
è
-  v

q
ö
ø
-1 ö
÷
ø
(62)
où q,s > 0 sont les paramètres de la fonction de sortie de tous les neurones du réseau. On suppose aussi que tous les poids wij du réseau sont correctement fixés par un algorithme d'apprentissage approprié.
dessins/reseau.png
Figure 10: Réseau de neurones multicouches type feedforward
D'après la figure 10, on peut considérer le réseau de neurones par la fonction suivante : x(k+1)=P( x(k),u(k)) ou P est une fonction non linéaire. x(k) Î \mathbb Rn est le vecteur détat et u(k) Î \mathbb Rm est le vecteur d'entrée. On suppose aussi que toutes les fonctions f(v) sont dérivables.
En considérant un système complet de commande basé sur les réseau de neurones on obtient le système de la figure 11 [ Tanaka1996].
dessins/rn_commande.png
Figure 11: Système de commande basé sur les réseaux de neurones
D'après la figure 11, on peut considérer le système complet par la fonction suivante : x(k+1)=P( x(k),u(k)) et u(k)=Cx(k) où P et C sont des fonctions non linéaires. x(k) Î \mathbb Rn est le vecteur détat et u(k) Î \mathbb Rm est le vecteur d'entrée. On suppose ici aussi que toutes les fonctions f(v) sont dérivables.

7.2  Modèlisation d'un réseau de neurones par un modèle T-S

Si il est possible de représenter un réseau de neurones par un modèle de types T-S [ Tanaka1996], on pourra alors utiliser les techniques de stabilisation des systèmes flous aux reéseaux de neurones et plus particulièrement les techniques developpées dans les sections précedentes.
Le point clé de la représentation consiste à transformer la fonction f(v) de sortie des neurones du réseau en un modèle flou de type T-S. On va raisonner sur un réseau simple composé d'une seule couche (Cf. figure 14).
dessins/petitreseau.png
Figure 12: Réseau de neurone simple
On a donc v=w1x(k)+w2x(k-1),    x(k+1)=f(v),    f(v)=s( [ 2/(1+exp( -[ v/q]) )]-1) où w1 et w2 sont les poids des connexions. Pour simplifier on suppose que s=1 . La fonction f(v) vérifie :
g1v £ f(v) £ g2v,
v ³ 0
g2v £ f(v) £ g1v,
v > 0
Où g1 et g2 sont respectivement le minimum et la maximum de la fonction f¢(v) tel que :
g1=
min
v 
f¢(v)=0
g2=
max
v 
f¢(v)=0

f¢(v) º  f(v)

dv
.
On définit ensuite hp1(k),hp2(k) Î [ 0  1] et å2i=1hpi(k)=1 pour tout k le réseau de neurone paut alors être représenté par le modèle flou T-S suivant :
x(k+1)=f(v)
=
( hp1(k)g1+hp2(k)g2) v
=
2
å
i=1 
hpigi( w1x(k)+w2x(k-1))
(63)
où hpi(k) peut être considérée comme les fonctions d'appartenance de la partie prémisse. La sortie du réseau f(v) est calculée en faisant l'interpolation de deux droites g1v et g2v (Cf. figure 13).
dessins/sigmoide_approx.png
Figure 13: Representation de l'interpoltion de f(v)\protect
Si on donne un représentation matricielle l'équation 63 s'écrit :
x(k+1)= 2
å
i=1 
hpi(k)Aix(k)
(64)

x(k)
=
é
ë
x(k)
x(k-1)
ù
û
,
A1
=
é
ê
ë
g1w1
g1w2
1
0
ù
ú
û
= é
ê
ë
0
0
1
0
ù
ú
û
,
A2
=
é
ê
ë
g1w1
g1w2
1
0
ù
ú
û
= é
ê
ê
ë
 0.5

q
w1
 0.5

q
w2
1
0
ù
ú
ú
û
.
Ceci est bien la représentation d'un modèle flou de type T-S en boucle ouverte. Cette représentation se complique d'autant plus que le réseau de neurones est important.

7.3  Critère de stabilité de système à base de réseau de neurones

Comme on l'a vu dans le point précédent, il est possible de représenter un réseau par un système flou de type T-S. Il est alors possible de leur appliquer les critères de stabilités décrits précédement.

7.3.1  Conditions de stabilité pour réseau monocouche simple

D'après l'équation 6 et le théorème 2 les conditions de stabilité pour un réseau simple sont : les suivantes :
Théorème 13 Le réseau de neurones monocouche simple de la figure 14 est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 telle que
ATiPAi-P < 0       i=1,...,r
(65)

7.3.2  Conditions de stabilité pour système flou bouclé

Afin d'analyser la stabilité du système bouclé il convient d'étudier la stabilité du régulateur et du procédé. En remplacant 9 dans 3 le système complet s'écrit :
×
x
 
(t)=
rp
å
i=1 
rc
å
j=1 
mip(k)mic(k)Hijx(k)

rp
å
i=1 
rc
å
j=1 
mip(k)mic(k)
avec
Hij=Ai+BiFj
et rp nombre de règles du modèle flou du procédé et rc nombre de règles du modèle flou du régulateur/
Théorème 14 Le système flou bouclé à base de réseau de neurones 11 est asymptotiquement stable s'il existe une matrice P > 0 telle que
HTiPHi-P < 0       i=1,...,rp,  j=1,...,rc.
(66)

7.4  Analyse de la stabilité

dessins/reseau_simple.png
Figure 14: Réseau à 3 couches à 2 entrées
D'après la figure 14 on obtient :
v11
=
w111x(k)+w121x(k-1),
(67)
v12
=
w112x(k)+w122x(k-1),
(68)
v21
=
w211f11(v11)+w212f12(v12).
(69)
x(k+1)
=
f21(v21)
(70)

v11=v12=v22=.x(k+1)=.
on définit ensuite :
f11(v11)
=
 2

1+exp æ
è
-  v11

q11
ö
ø
-1
(71)
f12(v12)
=
 2

1+exp æ
è
-  v12

q12
ö
ø
-1
(72)
f21(v21)
=
 2

1+exp æ
è
-  v21

q21
ö
ø
-1
(73)
où qij sont les paramètres de la fonction de sortie des neurones du réseaux. D'après l'interpolation faite dans la figure 13 les équations 71-73 peuvent s'écrire :
f11( v11)
=
( h111(k)g111+h112(k)g112) v11,
(74)
f12( v12)
=
( h121(k)g121+h122(k)g122) v12,
(75)
f21( v21)
=
( h211(k)g211+h212(k)g212) v21.
(76)

g111
=

min
v11 
f¢11( v11) = 0
g121
=

min
v12 
f¢12( v12) = 0
g211
=

min
v21 
f¢21( v21) = 0
g112
=

max
v11 
f¢11( v11) = 0.5/q11
g122
=

max
v12 
f¢12( v12) = 0.5/q12
g212
=

max
v21 
f¢21( v21) = 0.5/q21
D'après 70 et 76 on peut écrire :
x(k+1)
=
( h211(k)g211+h212(k)g212) ·v21i
=
2
å
i=1 
h21i(k)g21iv12
(77)
En remplaçant 69 dans 77 on a :
x(k+1)= 2
å
i=1 
h21i(k)g21i· 2
å
j=1 
w21jf1j( v1j)
(78)
et d'après 74 et 75 on obtient :
x(k+1)
=
2
å
i=1 
h21i(k)g21i
· 2
å
j=1 
w21j{ h1j1(k)g1j1+h1j2(k)g1j2} v1j
=
2
å
i=1 
h21i(k)g21i· 2
å
j=1 
2
å
s=1 
h11j(k)h12s(k)
×{ g11jw211v11+g12sw212v12}
(79)
D'après 67,68 et 79 on a :
x(k+1)
=
2
å
i=1 
2
å
j=1 
2
å
s=1 
h21i(k)h11j(k)h12s(k)
×[ g21i·{ g11jw211w111+g12sw212w112}
+ g21i·{ g11jw211w121+g12sw212w122} ]
On peut représenter matriciellement de la façon suivante :
x(k+1)= 2
å
i=1 
2
å
j=1 
2
å
s=1 
h21i(k)h11j(k)h12s(k)Aijsx(k)

Aijs
=
é
ê
ë
g21i·{ g11jw211w111+g12sw212w112}
g21i·{ g11jw211w121+g12sw212w122}
1
0
ù
ú
û
xT(k)
=
[ x(k)  x(k-1)] .
Afin de prouver la stabilité du système flou à base de réseau de neurones il convient de trouver P tel que : AijsTPAijs < 0

Références

[ Ghaoui1997]
L. El Ghaoui. Approche LMI pour la commande : Une introduction. In Identification et Commande Robuste : Approche LMI, pages 1-25, 1997.
[ Narenda et Parthasarathy1990]
K.S. Narenda et K. Parthasarathy. Identification and control of dynamical system using neural networks. In IEEE TRANSACTIONS ON NEURAL NETWORKS, volume 1, pages 4-27, 1990.
[ Tanaka et al. 1998]
K. Tanaka, T. Ikeda, et H.O. Wang. Fuzzy regulators and fuzzy observers : Relaxed stability conditions and lmi-based designs. In IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS, volume 6, pages 251-265, 1998.
[ Tanaka et Sugeno1990]
K. Tanaka et M. Sugeno. Stability analysis of fuzzy systems using lyapunov's direct method. In NAFIP'S 90, pages 133-136, 1990.
[ Tanaka et Sugeno1992]
K. Tanaka et M. Sugeno. Stability analysis and design of fuzzy controls systems. In Fuzzy Sets and Systems, volume 45, pages 135-156, 1992.
[ Tanaka1996]
K. Tanaka. An approach to stability criteria of neural-network control systems. In IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS, volume 7, pages 629-642, 1996.
[ Wang et al. 1996]
H.O. Wang, K. Tanaka, et M.F. Griffin. An approach to fuzzy control of nonlinear systems : Stability and design issues. In IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS, volume 4, pages 14-23, 1996.

Navigation

Articles de la rubrique

Météo

Metz, 57, France

Conditions météo à 17h30
par weather.com®

Très nuageux

10°C


Très nuageux
  • Vent : 27 km/h - ouest sud-ouest
  • Pression : 985 mbar tendance symbole
Prévisions >>

Prévisions du 22 octobre
par weather.com®

Inconnu

Max 10°C
Min 7°C


Inconnu
  • Vent : N/D km/h
  • Risque de precip. : %
<< Conditions  |  Prévisions >>

Prévisions du 23 octobre
par weather.com®

Orage épars

Max 13°C
Min 11°C


Orage épars
  • Vent : 20 km/h
  • Risque de precip. : 50%
<<  Prévisions  >>

Prévisions du 24 octobre
par weather.com®

Averses

Max 15°C
Min 11°C


Averses
  • Vent : 14 km/h
  • Risque de precip. : 30%
<<  Prévisions  >>

Prévisions du 25 octobre
par weather.com®

Soleil et nuages épars

Max 20°C
Min 8°C


Soleil et nuages épars
  • Vent : 11 km/h
  • Risque de precip. : 10%
<<  Prévisions  >>

Prévisions du 26 octobre
par weather.com®

Soleil voilé

Max 20°C
Min 10°C


Soleil voilé
  • Vent : 9 km/h
  • Risque de precip. : 10%
<<  Prévisions  >>

Prévisions du 27 octobre
par weather.com®

Orage épars

Max 16°C
Min 8°C


Orage épars
  • Vent : 20 km/h
  • Risque de precip. : 40%
<<  Prévisions  >>

Prévisions du 28 octobre
par weather.com®

Nuageux

Max 13°C
Min 10°C


Nuageux
  • Vent : 24 km/h
  • Risque de precip. : 20%
<< Prévisions